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河南理工大学-复变函数与积分变换
[填空题,20分] 设f(z)=z4-z2，则f(1-i)= _ 。
[填空题,20分] 区域 在映射 下的象为 ___ 。
[填空题,20分] 设 为有理分式函数，且 ，则 _____ 。
[综合题,6.2分] 求函数傅氏变换。 解：∵ℱ ℱ ℱ ℱ 从而ℱ
[综合题,6.2分] 求将单位圆映射成单位圆且满足的分式线性映射。 解 由条件知，所求的映射要将|z|<1内的点映射成|w|<1的中心。 所以 由此得 由于因此为正实数，从而，即φ=0,故所求映射为 。（请填写正确的结果）
[综合题,6.2分] (1) 求在圆环域1<|z－1|<+∞内的罗朗级数展开式； (2) 求在圆环域1<|z－1|<+∞内的罗朗级数展开式.
[综合题,6.2分] 设ℒ，证明 ℒ，并计算ℒ，其中. 证明： 由ℒ，得 ， 于是 ℒ 问题1：证明过程对吗？ 下面计算ℒ： ℒ，由积分性质，有 ℒ 再由上面结果，便有 ℒ 问题2：解答过程有错误吗？
[综合题,6.2分] （1）求f(z)=在圆域|z|<1内的所有奇点； （2）求f(z)在上述奇点处的留数； （3）利用留数定理计算实积分I=dx 解 由于，故 （1）在圆域|z|<1内有两个一级极点z=0, z=. 问题1：根据解题过程回答（1）中的两个一级极点分别是（ ）？ （2）， 问题2：根据解题过程回答（2）中所求的奇点的留数为（ ）。 （3）令, 则，且当x从0到2π时，z沿正向圆周|z|=1绕行一周，于是 由留数定理，得 问题3：根据解题过程回答（3）中所求的实积分为（ ）。
[综合题,6.2分] 利用留数求积分的值。
[综合题,6.2分] 设函数，求在内的导数。
[综合题,6.2分] 把函数表成形如的幂级数，其中a与b为不相等的复常数。 解 把函数写成如下的形式 当时，利用结果 当|z|<1时，有 便得 从而 (请填入正确的答案）
[综合题,6.2分] 写出函数的幂级数展开式至含项为止，并指出其收敛范围。 解 函数距原点最近的奇点为，故的幂级数的收敛半径为。由于，得，再 ， 由幂级数的除法，设 注意到为偶函数，故，于是 比较系数，便得，故 上述解答过程是否正确？
[综合题,6.2分] 利用拉氏变换求解微积分方程： 解： 设ℒ，对微分方程 两边取拉氏变换并由 ℒ及ℒ 得 将初始条件代入，得 取拉氏逆变换，得
[综合题,6.2分] 设D为Z平面上由相交于z=的两圆弧围成的月牙形区域，两圆弧在z=i处的夹角为（如图）： （1）将D映射为W1平面上的区域D1， 问D1是什么区域？ （2）w=将D1映射为W平面上什么区域？ （3）w=将D映射为W平面上什么区域？ 上述解答过程正确吗？
[综合题,6.2分] (1)求在上半平面内的所有孤立奇点; (2)求f(z)在以上各孤立奇点的留数; (3)利用以上结果计算I=.
[填空题,20分] 区域 在映射 下的象为 ___ 。
[填空题,20分] 设 为有理分式函数，且 ，则 _____ 。
[综合题,6.2分] 求函数傅氏变换。 解：∵ℱ ℱ ℱ ℱ 从而ℱ
[综合题,6.2分] 求将单位圆映射成单位圆且满足的分式线性映射。 解 由条件知，所求的映射要将|z|<1内的点映射成|w|<1的中心。 所以 由此得 由于因此为正实数，从而，即φ=0,故所求映射为 。（请填写正确的结果）
[综合题,6.2分] (1) 求在圆环域1<|z－1|<+∞内的罗朗级数展开式； (2) 求在圆环域1<|z－1|<+∞内的罗朗级数展开式.
[综合题,6.2分] 设ℒ，证明 ℒ，并计算ℒ，其中. 证明： 由ℒ，得 ， 于是 ℒ 问题1：证明过程对吗？ 下面计算ℒ： ℒ，由积分性质，有 ℒ 再由上面结果，便有 ℒ 问题2：解答过程有错误吗？
[综合题,6.2分] （1）求f(z)=在圆域|z|<1内的所有奇点； （2）求f(z)在上述奇点处的留数； （3）利用留数定理计算实积分I=dx 解 由于，故 （1）在圆域|z|<1内有两个一级极点z=0, z=. 问题1：根据解题过程回答（1）中的两个一级极点分别是（ ）？ （2）， 问题2：根据解题过程回答（2）中所求的奇点的留数为（ ）。 （3）令, 则，且当x从0到2π时，z沿正向圆周|z|=1绕行一周，于是 由留数定理，得 问题3：根据解题过程回答（3）中所求的实积分为（ ）。
[综合题,6.2分] 利用留数求积分的值。
[综合题,6.2分] 设函数，求在内的导数。
[综合题,6.2分] 把函数表成形如的幂级数，其中a与b为不相等的复常数。 解 把函数写成如下的形式 当时，利用结果 当|z|<1时，有 便得 从而 (请填入正确的答案）
[综合题,6.2分] 写出函数的幂级数展开式至含项为止，并指出其收敛范围。 解 函数距原点最近的奇点为，故的幂级数的收敛半径为。由于，得，再 ， 由幂级数的除法，设 注意到为偶函数，故，于是 比较系数，便得，故 上述解答过程是否正确？
[综合题,6.2分] 利用拉氏变换求解微积分方程： 解： 设ℒ，对微分方程 两边取拉氏变换并由 ℒ及ℒ 得 将初始条件代入，得 取拉氏逆变换，得
[综合题,6.2分] 设D为Z平面上由相交于z=的两圆弧围成的月牙形区域，两圆弧在z=i处的夹角为（如图）： （1）将D映射为W1平面上的区域D1， 问D1是什么区域？ （2）w=将D1映射为W平面上什么区域？ （3）w=将D映射为W平面上什么区域？ 上述解答过程正确吗？
[综合题,6.2分] (1)求在上半平面内的所有孤立奇点; (2)求f(z)在以上各孤立奇点的留数; (3)利用以上结果计算I=.